Volatilitätsindex-Mathematische Modelle
Die Volatilität eines Finanzinstruments ist ein wichtiger Faktor bei der Risikosteuerung und -bewertung von Investments. Der Volatilitätsindex (VIX) ist ein bekanntes Maß für die erwartete Volatilität der Aktienmärkte, aber was genau steckt hinter diesem Index? In diesem Artikel werden wir uns mit den mathematischen Modellen beschäftigen, die zum Berechnen des VIX verwendet werden.
Was ist der Volatilitätsindex (VIX)?
Der Volatilitätsindex, https://solcasino-de.net/ auch bekannt als Fear-Index oder Implied-Volatility-Index, ist ein Maß für die erwartete Volatilität der Aktienmärkte. Er wurde 1993 von dem Finanzanalysten Robert Shiller entwickelt und wird von der CBOE (Chicago Board Options Exchange) bereitgestellt. Der VIX basiert auf den Kursen von S&P-500-Call-Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen und -terminen.
Mathematische Modelle für die Berechnung des VIX
Der VIX wird nach folgendem Modell berechnet:
VIX = √[2/(T-t) ∫[0,T]e^(-τ(T-t)) σ(τ)^2 dτ]
wobei T der Ablaufdatum der Option, t die aktuelle Zeit und σ(τ) die erwartete Standardabweichung für einen bestimmten Zeitpunkt τ.
Ein anderes Modell verwendet die folgende Formel:
VIX = √[∫[0,T] e^(-τ(T-t)) σ(τ)^2 dτ]
Dieses Modell wird oft als "integral-basierter VIX" bezeichnet.
Die Black-Scholes-Gleichung
Eine weitere wichtige mathematische Grundlage für die Berechnung des VIX ist die Black-Scholes-Gleichung. Diese Gleichung beschreibt das Verhalten von Call- und Put-Optionen bei verschiedenen Ausübungspreisen und -terminen.
dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
wobei S(t) der Aktienkurs, r die Zinsrate, σ die Standardabweichung und W(t) ein Wiener-Prozess ist.
Die Black-Scholes-Gleichung kann verwendet werden, um die erwartete Volatilität für einen bestimmten Zeitpunkt zu berechnen. Dazu wird der Aktienkurs, der Ausübungspreis und der Termin in die Gleichung eingesetzt.
Implizierte Volatilität
Die implizierte Volatilität ist ein weiterer wichtiger Faktor bei der Berechnung des VIX. Die implizierte Volatilität ist die durch die Optionssätze angedeutete Volatilität für einen bestimmten Zeitpunkt.
σ^2 = ∫[0,T] e^(-τ(T-t)) σ(τ)^2 dτ
Die implizierte Volatilität kann verwendet werden, um die erwartete Volatilität für einen bestimmten Zeitpunkt zu berechnen. Dazu wird der Optionssatz und der Termin in die Gleichung eingesetzt.
Kritik an den mathematischen Modellen
Die mathematischen Modelle für die Berechnung des VIX haben auch ihre Kritiker. Einige Kritiker argumentieren, dass die Modelle zu einfach sind und nicht alle Komplexitäten der Finanzmärkte berücksichtigen.
Ein weiterer Kritikpunkt ist, dass die Modelle an historischen Daten angepasst werden und nicht unabhängig von diesen Daten funktionieren. Dies kann dazu führen, dass die Modelle bei neuen oder unvorhergesehenen Marktbedingungen nicht mehr genau sind.
Fazit
In diesem Artikel haben wir uns mit den mathematischen Modellen beschäftigt, die zum Berechnen des Volatilitätsindex (VIX) verwendet werden. Wir haben die Black-Scholes-Gleichung, die implizierte Volatilität und die Formeln für die Berechnung des VIX dargestellt.
Die mathematischen Modelle für die Berechnung des VIX sind wichtig, aber auch ihre Kritiker gibt es. Es ist wichtig, dass Anleger sich über die Grenzen der Modelle bewusst sind und sie nicht zu sehr auf historische Daten anpassen lassen.
Literatur
- Black, F.; Scholes, M. (1973): The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy 81(3), S. 637-654.
- Cox, J.C.; Ross, S.A. (1976): The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes. Journal of Financial Economics 3(1), S. 145-166.
- Shiller, R. (1993): Stock Prices and Social Dynamics. Brookings Papers on Economic Activity 2, S. 193-238.
Quellen
- CBOE: VIX – Der Volatilitätsindex
- Wikipedia: Black-Scholes-Gleichung
- Investopedia: Volatility Index (VIX)